Recibido:
01/07/2023 Aceptado: 02/10/2023
Propuesta de tratamiento
metodológico de la aplicación del teorema de las tres perpendiculares (Original)
Methodological treatment proposal for the application
of the theorem of three perpendiculars (Original)
José Roberto Pedraza Pérez. Licenciado en Educación. especialidad Matemática. Máster en Ciencias de
la Educación. Profesor Auxiliar. Universidad Central “Marta Abreu” de Las
Villas. Santa Clara. Cuba. [ joserpp@uclv.cu ]
Carlos Duardo Monteagudo. Licenciado
en Educación. especialidad Matemática. Doctor
en Ciencias Pedagógicas. Profesor Titular. Universidad Central “Marta Abreu” de
Las Villas. Santa Clara. Cuba. [ cduardo@uclv.cu ]
Yumar Martínez Rodríguez. Licenciado en Educación. especialidad Matemática. Doctor en Ciencias
Pedagógicas. Profesor Titular. Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas.
Santa Clara. Cuba. [ yumarm@uclv.cu ]
Resumen
El
artículo trata el teorema de las tres perpendiculares, tema
que se imparte en el duodécimo grado y es base fundamental para el estudio de
futuros contenidos geométricos. Tiene como objetivo elaborar una propuesta para
el tratamiento metodológico de la aplicación del teorema de las tres
perpendiculares, en los diferentes ejercicios y problemas de cálculo de cuerpos. Para
la investigación se utilizó el método dialéctico materialista, con predominio
del enfoque cuantitativo y se asumió una muestra de estudio de 23 estudiantes
de un grupo de duodécimo grado seleccionado intencionalmente, en el que se
aplicó la observación, y el análisis del producto de la actividad entre otros
métodos y técnicas, que permitieron constatar las
dificultades existentes en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos
relativos a la Geometría del espacio, específicamente en el tema del teorema de
las tres perpendiculares. Este contenido resulta complejo para los estudiantes,
ya que deben aplicar conceptos, proposiciones y procedimientos. Se precisa entonces
de la utilización de esta propuesta para la aplicación del teorema de las tres
perpendiculares, que
es incorporado mediante ejercicios de demostración. La evaluación parcial del
trabajo brindó un resultado positivo, lo que muestra la efectividad del mismo.
Palabras
clave: matemática; tratamiento metodológico;
aplicación; teorema de las tres perpendiculares
Abstract:
The
article deals with the theorem of three perpendiculars, a topic taught in
twelfth grade and serves as a fundamental basis for the study of future
geometric concepts. Its objective is to develop a mothodological
proposal for the application of the theorem of three perpendiculars in various
exercises and problems involving spatial calculations. The research utilizes
the dialectical materialist method, with a predominance of the quantitative
approach, and a sample of 23 intentionally selected twelfth-grade students was
used for the study. Observations, analysis of the activity outcomes, and other
methods and techniques were employed to identify the existing difficulties in
the teaching and learning process related to spatial geometry, specifically
focusing on the theorem of three perpendiculars. This theorem proves to be
challenging for students, as it requires the application of concepts,
propositions, and procedures. Therefore, the use of exercises for demonstration
purposes is necessary to apply the theorem of three perpendiculars effectively.
The partial evaluation of this work yielded positive results, demonstrating the
effectiveness of the proposed approach.
Keywords: mathematics; methodological treatment;
application; theorem of three perpendiculars
Introducción
Los
documentos que norman el Tercer Perfeccionamiento del Sistema Nacional de
Educación en la República de Cuba, declaran que “la política educacional está
orientada a formar ciudadanos con una cultura general integral y un pensamiento
humanista y creador, que les permita adaptarse a los cambios del contexto y
resolver problemas de interés social con una actitud crítica” (Ministerio
de Educación [MINED],
2021, p. 3). Esta concepción es básica para el perfeccionamiento educacional.
Los resultados
logrados en la educación promueven la creatividad pedagógica, perfeccionando el
proceso enseñanza-aprendizaje. La Matemática tributa al cumplimiento de los
objetivos del Sistema Educativo cubano en la asimilación de los conocimientos
científicos y la formación de una actitud científica hacia los fenómenos de la
realidad y de los valores que responden al encargo social de la escuela; sobre
todo, si se tiene en cuenta su carácter integrador, generalizador; así como su
incidencia en el desarrollo armónico y multifacético de la personalidad de los
estudiantes.
El
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática se encuentra en
transformación, fundamentalmente consiste en que la formulación y solución de
problemas se convierte en su eje central, donde la perseverancia de los
estudiantes (Berenguer et al., 2017) es básica para lograr cumplir los
objetivos.
En los
contenidos geométricos que se estudian en la asignatura Matemática del
preuniversitario se constatan dificultades en el desarrollo de habilidades
geométricas. Los estudiantes presentan dificultades en la aplicación de
conceptos, proposiciones, procedimientos, propiedades y teoremas en general que
son objeto de estudio en este nivel, manifestándose esto en la demostración de
ejercicios y problemas donde se utilice el teorema de las tres perpendiculares,
contenido que se imparte en el duodécimo grado, al no reconocer los elementos
que contiene el teorema y dificultades en su justificación.
Por
otra parte, en las Orientaciones Metodológicas para la Matemática de duodécimo
grado (MINED, 2019) se aprecian limitaciones en la orientación de cómo dar
tratamiento a las demostraciones donde se aplique el teorema de las tres
perpendiculares.
La
habilidad demostrar en Matemática ha sido objeto de estudio por parte de
investigadores tales como: Fernández y Gamboa, (2018), Lafaid
(2018), Iglesias y Ortiz (2019), Bernardis y Moriena (2021), Quero y Ruiz (2021), entre otros. Estos
coinciden en el escaso desarrollo que esta habilidad tiene en numerosos
estudiantes.
Otros
como Arnaiz et al. (2020) y Ramírez (2021), coinciden en que no existe una
conducción adecuada de los estudiantes para resolver ejercicios de
demostraciones geométricas, lo que conlleva a la poca motivación y no
comprensión de los mismos.
Al
iniciar el estudio de la Geometría Espacial o Estereometría, se enfatiza en la
visualización de situaciones geométricas espaciales las cuales van a ser
representadas en un plano, por lo tanto, la ausencia de tales habilidades
prácticamente imposibilita desarrollar cualquier trabajo. Considerando que el
tratamiento del teorema de las tres perpendiculares dentro del proceso de
enseñanza - aprendizaje de la Geometría del espacio es un problema generalizado
que requiere de soluciones inmediatas.
Esto significa que se requiere de la acción coordinada de los profesores
que imparten este contenido para que se logre exitosamente un tratamiento
metodológico adecuado. A partir de esta situación,
se plantea como objetivo elaborar una propuesta de carácter metodológico para
el tratamiento del teorema de las tres perpendiculares, al facilitar encontrar
los elementos necesarios para poder aplicarlo en los diferentes ejercicios y
problemas de cálculo de cuerpos.
Materiales y
métodos
El método general de la investigación
es el dialéctico materialista que permitió la conjugación de diferentes métodos
y técnicas para el estudio (Lorences et al., 2009).
En el diseño de la investigación se tomó como referentes a Hernández et al. (2014),
al enmarcarlo en el cuantitativo no experimental, de tipo analítico y
transeccional, por las variables que no se manipularon para su estudio y fueron
analizadas dentro de un período único.
Se utilizaron métodos teóricos, entre
ellos el analítico-sintético como método esencial en la fundamentación teórica,
el diseño del sistema de acciones y el análisis de los resultados, en el
procesamiento de toda la información recogida y para arribar a las
conclusiones; el inductivo-deductivo en la determinación de las regularidades y
de las conclusiones. El tránsito de lo abstracto a lo concreto permitió
precisar el método racional de la identificación de los elementos necesarios en
la demostración del teorema de las tres perpendiculares, por su capacidad para
integrar a los demás métodos; y la modelación, utilizada en su representación.
Los métodos del nivel empírico que se
utilizaron fueron el análisis documental, en la determinación de los elementos
teóricos y metodológicos, y en la revisión de documentos tales como orientaciones
metodológicas, programas y libro de texto; la observación, como método esencial
en el proceso de aplicación parcial del tratamiento metodológico efectuado de
la identificación de los elementos necesarios en las
demostración del teorema de las tres perpendiculares.
Se utilizó el análisis del producto
de la actividad de los estudiantes tanto en sus resultados en clases, como en
las comprobaciones de conocimientos. El análisis porcentual se usó como
procedimiento para la comparación de los resultados.
La investigación se desarrolló con 23
estudiantes de duodécimo grado del Colegio Preparatoria de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las
Villa, Cuba. Estos fueron seleccionados
intencionalmente por ser el grupo en que uno de los autores imparte
matemáticas.
Análisis y discusión
de los resultados
La Geometría del espacio es la rama de la geometría que se encarga de
estudiar las figuras geométricas que ocupan un lugar en el espacio. Entre estas
figuras voluminosas, también llamadas sólidos o cuerpos, se encuentran el cono,
el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, cuyas propiedades y
medidas en el espacio tridimensional, son ampliamente utilizadas en las
matemáticas, las ingenierías y las ciencias naturales.
La línea directriz Geometría en el Preuniversitario
profundiza en los contenidos
geométricos adquiridos en el nivel educativo precedente, se introducen nuevos
contenidos al
Introducir
el grupo de teoremas de Pitágoras y la resolución de triángulos cualesquiera.
La trigonometría se aplica al cálculo de cuerpos. Se introduce el estudio de la
geometría analítica de la recta (…) y se cierra con una introducción a la
axiomática del espacio, donde se extraen primeras consecuencias de los axiomas
de incidencia, orden y paralelismo para estudiar las posiciones relativas entre
rectas, así como entre rectas y planos (Ballester, 2018, p. 79).
Para el duodécimo grado se plantea,
según Álvarez et al. (2014), formular y
demostrar conjeturas y resolver ejercicios de demostración relativos a las
propiedades y relaciones de figuras geométricas en el plano y el espacio,
utilizando cuando resulte conveniente un asistente de geometría dinámica,
aplicando los conocimientos sobre la geometría sintética y analítica del plano
y sobre las relaciones entre rectas y rectas y planos en el espacio, de modo
que se propicie el análisis, explicación y evaluación crítica de ideas
geométricas con ayuda de la terminología y simbología propias de la asignatura.
En el grado se imparten los contenidos de la geometría del espacio, y en
este, la geometría sintética del espacio donde se sistematizan los conceptos,
relaciones y procedimientos de la geometría plana, para tratar las relaciones entre
rectas y planos en el espacio. Con respecto al tratamiento del contenido de las
relaciones entre rectas y planos se plantea:
Lo fundamental a lograr en
este punto esencial es que los alumnos apliquen las posiciones relativas de
rectas y planos, las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de rectas y
planos y el teorema de las tres perpendiculares a la resolución de ejercicios
sencillos de cálculo geométrico y demostración (MINED, 2019, p. 76).
Para los autores de este trabajo un ejercicio, según Müller (1978, citado por Ballester et al., 1992), es una exigencia
para actuar que se caracteriza por el objetivo de las acciones, su contenido y
las condiciones.
Los ejercicios de demostración constituyen problemas debido a su
complejidad. La concepción de Campistrous y Rizo (1996) acerca de los problemas es asumida en la
investigación, según la cual, es toda situación en la que hay un planteamiento
inicial y una exigencia que obliga a transformarlo. La vía para pasar de la
situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida tiene que ser
desconocida y la persona debe querer hacer la transformación.
El programa de duodécimo grado (MINED, 2019), declara en sus objetivos que se aplique el teorema de las tres perpendiculares al cálculo y a demostraciones sencillas. Para la resolución de
ejercicios y problemas de demostración es fundamental los procedimientos heurísticos (principios,
reglas, estrategias y programas heurísticos, así como medios auxiliares
heurísticos), para descubrir o encontrar una vía de solución. Además, son un
recurso importante que permite reflexionar sobre su propio aprendizaje y
generar nuevos conocimientos.
En el proceso de demostración de proposiciones matemáticas, en este
caso ejercicios y problemas del teorema de las tres perpendiculares, están implícitos los
siguientes procesos parciales: búsqueda de proposiciones, proceso en el cual se
dirigen las acciones de los estudiantes a establecer una
suposición (el teorema buscado); búsqueda de una demostración: proceso en el
cual se orienta a los estudiantes a encontrar una idea de
demostración para la proposición buscada; y la representación de la
demostración: proceso encaminado a la realización de la idea de demostración
encontrada (Che Soler, 2007).
En el libro
de texto de duodécimo grado (MINED, 2019) se enuncia el teorema de las tres
perpendiculares, el cual plantea que si una recta de
un plano que pasa por el pie de una oblicua al plano es perpendicular a la
proyección de la oblicua, entonces es perpendicular a la oblicua.
La
demostración de este teorema también aparece en el propio libro de texto y
además se llama la atención sobre el cumplimiento de su recíproco, es decir, si
una recta de un plano, que pasa por el pie de una oblicua, es perpendicular a
la oblicua, entonces es perpendicular a su proyección.
Visto de esta
manera pudiera parecer algo abstracto y un tanto complicado tanto para los
profesores que deben impartir este contenido, como para los estudiantes que
deben recibirlo; pero un análisis pormenorizado de su contenido podría ayudar
al estudiante, bajo la dirección del profesor y sobre la base de la búsqueda de
los elementos fundamentales, llegar finalmente a una conclusión acertada, que
correspondería a la solución del ejercicio que se plantea.
En el proceso de enseñanza
–aprendizaje del contenido se pudieron constatar las carencias, una de las
principales dificultades consistía en encontrar un orden lógico y sugerente de
los elementos que integra la demostración, dígase una recta contenida en el
plano, una oblicua a dicho plan, el pie de la oblicua, la proyección de la
oblicua sobre dicho plano y una perpendicular a dicho plano
Por lo que se encauza el trabajo para
llevar a los estudiantes al estado deseado, que no es otro que ofrecer un tratamiento
metodológico de la aplicación del teorema de las tres perpendiculares, de
carácter metodológico que facilite encontrar los elementos necesarios para poder
aplicarlo en los diferentes ejercicios de cálculo de cuerpos.
Tratamiento metodológico de
la aplicación del teorema de las tres perpendiculares
Es conocido como el
“método de enseñanza como la principal vía que toman el docente
y el alumno para lograr los objetivos fijados en el
plan de enseñanza, para impartir o
asimilar el
contenido de ese plan” (Klingberg, citado por Labarrere y Valdivia, 2001, p. 93)
Al analizar el teorema, se distingue que contiene cinco elementos esenciales:
1.
Una
recta contenida en el plano.
2.
Una
oblicua a dicho plano.
3.
El
pie de la oblicua.
4.
La
proyección de la oblicua sobre dicho plano.
5.
Una
perpendicular a dicho plano.
Cuando se
habla de una oblicua a un plano se relacionan con ella una perpendicular y una
proyección, esta triada conforman un triángulo rectángulo donde la hipotenusa
es la oblicua y los catetos la perpendicular y la proyección de la oblicua
respectivamente. Este aspecto tiene cierta relatividad ya que se debe
identificar el plano que contiene la proyección sobre la cual se traza la
perpendicular, esto depende de la ubicación del plano, como pudieran ser otras
como las que aparecen en las figura 1 y figura 2:
Figura 1
Plano horizontal.
Fuente: Elaboración propia
Figura 2
Plano
vertical
Fuente: Elaboración propia
Esta
observación realizada anteriormente obedece a que en la mayoría de los casos
cuando se explica este contenido se hace a partir de un plano tradicional como
lo es la figura 1; pero en los ejercicios el estudiante se enfrenta a
situaciones en que no siempre el plano es el tradicional y confunde la
perpendicular con la proyección bajo la creencia de que siempre es la que
aparece en forma vertical y “constituyen barreras que dificultan un buen
aprendizaje” (Rodríguez et al., 2014).
Como que
siempre a la oblicua le corresponde la hipotenusa de un triángulo rectángulo la
metodología que a continuación se ofrece obedece a organizar la secuencia de
búsqueda partiendo del punto donde se supone la existencia de un ángulo
rectángulo, que es propiamente el pie de la oblicua, así primeramente se debe
reconocer la oblicua y luego los restantes elementos del teorema como aparece a
continuación:
1.
Reconocer,
primeramente, la oblicua al plano.
2.
Reconocer
la perpendicular al plano y justificar.
3.
Reconocer
la proyección de esa oblicua sobre dicho plano.
4.
Reconocer
la recta del plano que pase por el pie de dicha oblicua donde se encuentra
dicha proyección y justificar.
Es de
destacar en este aspecto que, tanto la oblicua, la proyección y la recta del
plano tienen que coincidir en un punto común, es decir, en el pie de la oblicua
sobre el plano dado. La relación entre estos cuatro elementos puede ocurrir de
dos maneras diferentes que son las siguientes:
a)
Si
la recta del plano que pasa por el pie de la oblicua es perpendicular a la
proyección de dicha oblicua, entonces la recta del plano es perpendicular a la
oblicua (teorema de las tres perpendiculares).
b)
Si
la recta del plano que pasa por el pie de la oblicua es perpendicular a la
oblicua, entonces la recta del plano es perpendicular a la proyección (recíproco
del teorema de las tres perpendiculares).
La figura 3
muestra el camino a seguir desde el punto común entre la oblicua, proyección y
recta del plano en busca de los cuatro elementos necesarios para la
demostración.
Figura 3
Relación
oblicua, proyección, perpendicular al plano
Fuente: Elaboración
propia
Básicamente
la figura recomienda subir por la oblicua, bajar por la perpendicular y cerrar
con la proyección, al final se encuentra la recta del plano, el resto es
analizar la variante correcta, sea el teorema o su recíproco.
La resolución
de ejercicios donde aparecen cuerpos y apliquen el teorema de las tres
perpendiculares, constituye un reto a la imaginación y creatividad de muchos
estudiantes, los cuales ven en ellos una complejidad mayor. Esto
presupone una situación problemática para ellos, una dificultad a ser superada,
por lo cual los primeros ejercicios no pueden ser tan difíciles, para que
sientan que pueden alcanzar sus metas de lo contrario se sentirán incapaces de
intentar resolverlos, lo que provocaría un desinterés en los futuros ejercicios
que se presenten.
Es una
realidad que ante una misma situación los estudiantes no reaccionan de la misma
manera y lo que puede resultar relativamente fácil para unos, puede ser también
bastante difícil para otros. El diagnóstico de los estudiantes es importante para
saber escoger cuales ejercicios colocar primeramente y sobre esa base aumentar
el grado de complejidad hasta llegar al estado deseado.
Ejemplos donde se aplica dicha propuesta.
Ejemplo1. La figura 4 muestra una pirámide recta de
base triangular
Figura
4
Pirámide
recta de base triangular ABC
Fuente: Libro de texto duodécimo grado
Como se debe probar que el triángulo es rectángulo en
el punto
Básicamente la solución del ejercicio se muestra a
continuación:
·
·
·
·
Luego como
Este ejemplo
es uno de los más sencillos, el cual deberá servir de modelo para la
comprensión tanto del teorema como de la propuesta ofrecida, más adelante se propondrán
otros ejercicios que irán aumentando el grado de complejidad para ganar
seguridad en los estudiantes y al mismo tiempo se puedan ir apropiando de la
metodología presentada.
También es
necesario que se le presente al estudiante situaciones en los que aparezca la
aplicación del teorema de las tres perpendiculares con diferentes órdenes,
combinado con otros elementos de cálculo como pudiera ser calcular la longitud
de un segmento, un área, el volumen, o algún elemento donde tenga que aplicar
la trigonometría, esto aumentará su preparación al integrar contenidos
precedentes.
Ejemplo 2.
La figura 5 muestra la pirámide recta
de
dicha pirámide.
a) Prueba que el triángulo
b) Calcula
c) Conociendo que
Figura 5
Pirámide recta PABC
Fuente. Libro
de texto duodécimo grado
Respuesta:
a) Como debemos probar que el triángulo
-
-
-
-
Como
Las
respuestas del resto de los incisos no son de interés para este trabajo, es
ejemplo de una propuesta de ejercicio de cálculo de cuerpo.
Durante todo el desarrollo de la propuesta se debe insistir en la necesidad
de realizar un trabajo organizado y con rigor pues se trata de una demostración,
no un ejercicio de cálculo en el que se pueden obviar algunos pasos. Esto es
necesario ya que no se encontrarían los elementos para llegar al final de dicha
demostración. Igual debe insistirse en el caso de justificar las
correspondientes perpendicularidades según sea el caso en los ejercicios que se
proponen.
Resolver un ejercicio de este tipo se convierte a menudo en un problema
para muchos estudiantes, pero el trabajo sistemático con ellos, en situaciones
diferentes, contribuye al desarrollo de habilidades geométricas espaciales.
Resultados
parciales de la aplicación de la propuesta en la práctica pedagógica
Los estudiantes solucionaron
problemas con grado de dificultad diferente y como parte de la evaluación
parcial se realizó el siguiente ejercicio:
·
La figura 6 representa un
prisma recto ABCDEFGH cuya base es el cuadrado ABCD y en su interior se
encuentra la pirámide oblicua ABCDM.
-
O punto de intersección
de las diagonales de la base.
- M
punto medio de
-
Figura 6
A B C D E F
G H M O
Prisma
recto ABCDEFGH
Fuente. Libro de texto duodécimo grado
Los resultados obtenidos en el grupo
de 23 estudiantes fueron:
-
El 65,2% resolvió el ejercicio correctamente, mientras el 21,8% demostraron incorrectamente el
teorema de las tres perpendiculares, al determinar un dato con una
justificación incorrecta y no concluir, y los demás no fueron capaces de
justificar e identificar los elementos necesarios para dar la respuesta. Dos
estudiantes intentaron hacerlo por el recíproco del teorema.
-
El 100%
de los estudiantes identificaron que había que aplicar el
teorema de las tres perpendiculares para dar respuesta a lo pedido en el ejercicio.
-
El 95,6 % de los
estudiantes fueron capaces de reconocer la oblicua al plano, un 91,3 % fue
capaz de reconocer la perpendicular al plano, aunque solamente un 78,2 % pudo
justificar.
-
El 91,3 % reconoció la
proyección de esa oblicua sobre dicho plano y finalmente un 95,6% reconoció la
recta del plano que pasa por el pie de dicha oblicua donde se encuentra dicha
proyección.
-
Los que no resolvieron el
problema en su totalidad (34,8%) plantearon:
ü
no poder identificar los
elementos del teorema de las tres perpendiculares y justificar (17,4%),
ü
forzaron la demostración
al determinar un dato mal justificado (26,1%) y
ü
no poder relacionar la
proyección de la oblicua con la recta que pasa por el pie de la oblicua y
justificar, no llegando a la conclusión correcta (33,3%).
En el intercambio con los estudiantes,
declararon que identificaron la oblicua, la perpendicular al plano, la
proyección de la oblicua y la recta que pasa por el pie de la oblicua,
presentado dificultades en las justificaciones, además, sus carencias
matemáticas no les permitieron llegar a feliz término.
Conclusiones
1.
Las
carencias en cuanto al aprendizaje del teorema de las tres perpendiculares se
manifiestan entre los estudiantes del duodécimo grado en el Colegio
Preparatoria de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas,
específicamente al utilizar conceptos, preposiciones y procedimientos en la
resolución de ejercicios donde se aplique la demostración del teorema.
2.
La
propuesta de tratamiento metodológico para aplicar el teorema de las tres
perpendiculares, constituye una alternativa para el contenido de la enseñanza de
la geometría del espacio, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática en el duodécimo grado del preuniversitario.
3.
Los
resultados obtenidos de su incorporación en la práctica pedagógica son
aceptables dada la complejidad del contenido y revelan la necesidad de
potenciar propuestas para incorporar en otros contenidos de la enseñanza de la
Matemática.
Referencias
bibliográficas
Álvarez,
M., Almeida, B., & Villegas, E. V. (2014). El proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Documentos
Metodológicos. Editorial Pueblo y Educación.
Arnaiz,
I., García, J. A., & Díaz, M. (2020). Concepción didáctica para aplicar
íntegramente las habilidades matemáticas en la solución de ejercicios y
problemas. Educación y Sociedad, 18(3),
16-29. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=8329319
Ballester,
S. (2018). Didáctica de la Matemática (Tomo I). Editorial Universitaria
Félix Varela.
Ballester,
S., Santana, H., Hernández, S., Cruz, I., Arango, C., García, M., Álvarez, A.,
Rodríguez, M., Batista, L. C., Villegas, E., Almeida, B., & Torres, P.
(1992). Metodología de la Enseñanza de la
Matemática (Tomo I).
Editorial Pueblo y Educación.
Berenguer,
I. A., Sánchez, A. G., & Noguerol, Y. S. (2017). La perseverancia en la resolución
de problemas matemáticos. Ponencia
presentada en XV COMPUMAT. https://www.researchgate.net/publication/327270834
Bernardis, S., & Moriena, S. (2021). Geometría Dinámica & Demostraciones
Geométricas. Revista de Educación Matemática,
(1), 74. https://revistas.unc.edu.ar/index.php/REM/article/view/10407
Campistrous,
L., & Rizo, C. (1996). Aprende a Resolver Problemas Aritméticos.
Editorial Pueblo y Educación.
Che
Soler, J. (2007). Didáctica de la
Matemática en la Secundaria Básica. Módulo III. Segunda parte. Maestría en
Ciencias de la Educación. Mención en Educación Secundaria Básica. Editorial
Pueblo y Educación.
Fernández, H., & Gamboa, M. E. (2018). La didáctica de la
geometría en función del desarrollo tecnológico de la pedagogía
contemporánea. Revista Pertinencia Académica, (6), 63–78. https://revistas.utb.edu.ec/index.php/rpa/article/view/2431
Hernández, R., Fernández, C., & Baptista, M. (2014). Metodología de la investigación (6ta. Edición).
MacGraw Hill Education.
Iglesias, M. M., & Ortiz, J. (2019). La Demostración en
Geometría desde una Perspectiva Didáctica. Unión - Revista
iberoamericana de educación matemática, 15(55). https://union.fespm.es/index.php/UNION/article/view/297
Labarrere, G., &
Valdivia, G. (2001). Pedagogía.
Editorial Pueblo y Educación.
Lafaid, E. (2018). La
geometría para la vida y su enseñanza. Revista
de investigación, administración e ingeniería, 6(1), 33-61. https://doi.org/10.15649/2346030X.475
Lorences, J., Guelmes, L., & Salmerón, E. (2009). La concepción
dialéctico materialista de los métodos en la investigación pedagógica. Revista Varela, 9(24) http://revistavarela.uclv.edu.cu/index.php/rv/article/view/713
Ministerio
de Educación. (2019). Orientaciones
metodológicas. Matemática. Duodécimo grado (provisional). Editorial Pueblo
y Educación.
Ministerio
de Educación. (2019). Libro de texto de
duodécimo grado (provisional). Editorial Pueblo y Educación.
Ministerio
de Educación. (2021). Adaptaciones
curriculares para el curso escolar 2020-2021. Educación Preuniversitaria.
Ministerio de Educación de la República de Cuba. Editorial Pueblo y
Educación.
Quero, O. N., & Ruiz,
A. M. (2021). Aprendizaje
de un programa heurístico para la transferencia entre representaciones de
objetos de la Geometría Analítica. Roca. Revista científico -
Educacional De La Provincia Granma, 18(1), 378-399. https://revistas.udg.co.cu/index.php/roca/article/view/2923
Ramírez,
J. (2021). Estrategias metodológicas para
el desarrollo del pensamiento lógico en los alumnos de sexto grado de primaria.
Editorial Pueblo y Educación.
Rodríguez, A., Aliaga, S.
G., & González, G. C. (2014). La transformación de los dogmas restrictivos sostenidos por los docentes. Didasc@ lia: Didáctica
y Educación, 5(2), 1-14.
https://revistas.ult.edu.cu/index.php/didascalia/issue/view/23