Revisión
Los
criterios de divisibilidad en la Matemática Escolar
The
divisibility rule in the teaching of Mathematics
Est.
Robin Matamoros Gómez, Universidad
de Granma, Cuba (1)
Est.
Julio Téllez Jerez, Universidad
de Granma, Cuba (2)
MSc.
Rafael de Jesús García Sánchez, Universidad
de Granma, Cuba (3)
MSc.
Idelsis Mendoza Zambrano, Universidad
de Granma, Cuba (4)
(1)
Estudiante de 4to año de Licenciatura en Educación.
Matemática. Alumno Ayudante. Facultad de Educación Media. Universidad de
Granma, Bayamo, Cuba.
rmatamorosg@estudiante.udg.co.cu
(2)
Estudiante de 4to año de Licenciatura en Educación.
Matemática. Facultad de Educación Media. Universidad de Granma, Bayamo, Cuba.
(3)
Profesor
Auxiliar. Máster en Ciencias de la Educación Superior. Profesor del
Departamento de Matemática-Física. Universidad de Granma, Bayamo, Granma, Cuba.
rgarcias@udg.co.cu https://orcid.org/0000-0002-1087-7995
(4)
Instructor.
Máster en Ciencias de la Educación. Profesora del Departamento de
Matemática-Física. Universidad de Granma, Bayamo, Granma, Cuba.
imendozaz@udg.co.cu https://orcid.org/0009-0007-1301-3133
Resumen
Los criterios de
divisibilidad en la enseñanza de la Matemática desempeñan un importante papel
en los contenidos aritméticos que se estudian en la Educación Primaria, estos
son utilizados fundamentalmente para simplificar fracciones y para investigar
si un número dado es primo o no. A partir del estudio realizado se pudo
apreciar que algunos autores desarrollan este contenido utilizando la
congruencia aritmética, que no se estudia en la enseñanza primaria cubana, y
otros no lo hacen con el rigor necesario. Por otra parte, en los libros de
textos de Matemática no se explicita un tratamiento adecuado que les permita a
los estudiantes la apropiación consciente y profunda de este contenido, lo que
constituye el objetivo de este trabajo. En él se realiza un estudio de la
relación de divisibilidad en los números enteros, el cual se puede reducir
fácilmente a los números naturales; donde se define y ejemplifica dicha
relación, se enuncian sus propiedades necesarias para obtener una considerable
cantidad de criterios de divisibilidad, se ejemplifican algunos de estos y se
ilustra una de sus aplicaciones a la resolución de problemas.
Palabras
claves: divisibilidad; criterio de
divisibilidad; múltiplo; divisor.
Abstract
The
divisibility criteria in the teaching of Mathematics play an important role in
the study of arithmetic in Primary Education, these are used to simplify
fractions, to investigate whether a given number is prime or not, among other
contents. From the study carried out by different authors where their treatment
is exposed in deferent literatures, it can be seen using the concept of
numerical congruence, however, the treatment of textbooks that allow students
to appropriate this content is not explained in the textbooks, which is the
objective of this work. A study of the divisibility relationship in the whole
numbers is carried out; where said relationship is defined and exemplified, it
is necessary properties are stated or demonstrated to obtain or demonstrate a
considerable amount of divisibility criteria, some of these are exemplified and
one of its applications to the resolution of exercises with text directed to
this end is illustrated. This work was introduced in the corresponding content
of the Mathematics I study program with a population of three groups and a
sample of group of the Bachelor of Primary Education.
Keywords: divisibility;
divisibility criteria; multiple; divisor.
Introducción
La enseñanza de la Matemática se orienta a
desarrollar en los estudiantes el pensamiento funcional y capacitarlos para
operar con objetos matemáticos continuos. Todos los cambios que se han hecho en
los programas escolares de esta materia estuvieron encaminados en esta misma
dirección.
La suma, diferencia y producto de números enteros
es siempre un número entero. Esto significa que los números enteros son
cerrados con respecto a la adición, sustracción y multiplicación. Pero con
respecto a la división, este conjunto deja de ser cerrado. Es decir, el
cociente de la división de un número entero por otro puede no ser un número
entero.
Por lo anterior, al estudiar las propiedades de la
división en los números enteros, una de las primeras cuestiones que se analiza
es la posibilidad de realizar esta operación dentro del dominio numérico
mencionado, es decir, la divisibilidad.
A partir de ahora se consideran conocidas las
propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas con números enteros y
como es habitual, los números enteros no negativos se denominan naturales.
Desarrollo
Las autoras Díaz Quintanilla, C y Alvarado, A,
definen los conceptos de relación de divisibilidad para números naturales,
divisor, múltiplo y divisor complementario; enuncian y demuestran algunas
propiedades de esta relación, tales como: reflexividad, antisimetría y transitividad;
enuncian los criterios de divisibilidad del 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 25; 100;
125 y 1000, sin embargo no se redactan estos criterios como condiciones
necesarias y suficientes.
Rodríguez, M; González, R; Sosa, J, definen los
conceptos múltiplos y divisores de un número natural; se enuncian algunas
propiedades de los divisores de un número natural y los criterios de divisibilidad
del 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 25; 100 y 1000 teniendo en cuenta condiciones
necesarias y suficientes sin utilizar estos términos ni el conector “si y solo
si”.
Marx; Krinke; Türke, definen los conceptos de
divisor y múltiplo de un número entero, divisor complementario, divisor trivial
y divisor propio; se enuncian y se demuestran numerosas propiedades de la
relación de divisibilidad para números enteros, sin embargo los criterios de
divisibilidad de tratan como aplicaciones del cálculo con congruencias
numéricas.
Sócrates; no define explícitamente la relación de
divisibilidad y enuncia las propiedades fundamentales; se relacionan sin
demostración los criterios de divisibilidad 2; 3; 4; 5; 7; 10; 11; 100; 1000;
4; 8; 16; 25;125 y 9; además brinda un método general para encontrar criterios
de divisibilidad por un número primo cualquiera o por un número que terminara
en 1; 3; 7 o 9, aunque dicho número no sea primo sin embargo este método
aparece sin demostración.
Potápov; Alexándrov y Pasichenko; enuncian
propiedades y las demuestran, así como demuestran algunos criterios de
divisibilidad 2; 4; 9 y proponen ejercicios de demostración de los criterios
del 5; 8 y 11.
González, realiza su tratamiento de los criterios
a partir de la definición de la relación de divisibilidad y varias propiedades
y supone como conocido por el lector los criterios de divisibilidad “usuales”;
demuestra algunos criterios y propone además ejercicios de demostración.
Otros autores como Coret, y colectivo de autores
así como Vorobiov, abordan estos criterios de divisibilidad a partir de la
definición de congruencia numérica.
Esta revisión permitió arribar a la conclusión de
que varios autores realizan el estudio de los criterios de divisibilidad a
partir del concepto de congruencia numérica y otros consideran muchas de estas
cuestiones conocidas por los lectores.
Además se apreció que estos materiales requieren
de un estudio más amplio y profundo sobre este contenido, así como ampliar la
propuesta de ejemplos resueltos y ejercicios de aplicación relacionados con los
criterios de divisibilidad, razón por la cual se hace la propuesta de este
artículo para complementar el estudio de este contenido matemático.
Se presentan a continuación el estudio de algunos
criterios de divisibilidad sin utilizar el concepto de congruencia numérica que
propicie una mejor interpretación, comprensión y asimilación del contenido
tratado.
I.
Relación de
divisibilidad en los números enteros.
Definición 1 (Divisibilidad en 
)
Si 
entonces se dice que “b es divisible por a” (o lo que es lo mismo, “b es un múltiplo de a”, “a es un divisor de b”) si existe 
, denominado cociente, tal que 
Notación: 
Nota: Si 
, entonces
se puede decir también que “a divide a
b”.
Ejemplos.
1.
porque
2.
porque 
3.
15 no es
divisible por 4 porque no existe número entero que multiplicado por 4 dé como
resultado 15. Es decir, la ecuación 
no tiene
solución en 
.
4.
, para todo número entero b. Entonces, todo número
entero es divisible por 1.
5.
, solo tiene solución cuando 
. Entonces, cero solo es divisor de cero y en este
caso el cociente puede tomar cualquier valor entero, es decir, el cociente es
indeterminado. Por esta razón se dice que la división por cero es imposible.
6.
, para todo número entero a. Entonces, todo número entero es divisor de cero.
7.
. Es decir, los únicos divisores de 1 son 1 y 
. Análogamente se ilustra que los únicos divisores
de son 1 y .
Se debe aclarar que es una
proposición que puede ser verdadera o falsa en dependencia de los valores enteros
que tomen a y b. Por otra parte, 
es una
división indicada si representa una fracción o un conjunto de fracciones
iguales entre sí, si representa un número fraccionario. Luego ≠ .
Para determinar si la proposición es
verdadera o falsa, es decir, para aclarar la divisibilidad de un número por
otro existen variados procedimientos. Uno de ellos y quizás el más usado consiste
en realizar la división, pero esto a menudo resulta largo, fatigoso y no
siempre necesario.
Por lo anterior, resultaría interesante encontrar
procedimientos más directos y económicos que la división directa. Tales
procedimientos existen y se denominan criterios de divisibilidad.
La esencia de cualquier criterio de
divisibilidades es reducir el problema de la divisibilidad del número entero b por el número entero a, al problema más simple de la
divisibilidad del número entero c por
a donde 
.
II.
Criterios de
divisibilidad.
En el sistema de numeración decimal cada número
natural N se puede representar en la forma:
, donde 
y 
son
dígitos para 
.
Asociando convenientemente y sacando factor común,
N se puede escribir en la forma:
Por otra parte, la relación de divisibilidad
introducida en la definición 1 posee la siguiente propiedad, la cual juega un
papel importante en la obtención de varios criterios de divisibilidad.
Teorema 1. Si
, entonces
si y solo si
.
Criterios
de divisibilidad del 2, 5 y 10.
El primer sumando del miembro derecho de la
igualdad (
) es divisible por 2, 5 y 10. Utilizando esta
propiedad y el teorema 1, se obtienen los siguientes criterios de divisibilidad:
Teorema 2. (Divisibilidad por 2)
Un número natural N es divisible por 2, si y solo
si, la cifra de las unidades de N es divisible por 2. Es decir, si N termina en
0, 2, 4, 6 u 8.
Teorema 3. (Divisibilidad por 5)
Un número natural N es divisible por 5, si y solo si,
la cifra de las unidades de N es divisible por 5. Es decir, si N termina en 0 ó
5.
Teorema 4. (Divisibilidad por 10)
Un número natural N es divisible por 10, si y solo
si, la cifra de las unidades de N es divisible por 10. Es decir, si N termina
en 0.
Criterios
de divisibilidad del 4, 20, 25, 50 y 100.
Análogamente a como se obtuvo 
se puede obtener:
El primer sumando del miembro derecho de la
igualdad anterior es divisible por cada divisor de 100, y para cada uno de
ellos se obtiene un criterio de divisibilidad. Solo se destacan los siguientes:
Teorema 5. (Divisibilidad por 4)
Un número natural N es divisible por 4, si y solo
si, es divisible por 4 el número 
, donde 
es la cifra
de las decenas de N y 
, la cifra de sus unidades.
Teorema 6. (Divisibilidad por 20)
Un número natural N es divisible por 20, si y solo
si, es divisible por 20 el número , donde es la cifra
de las decenas de N y , la cifra de sus unidades. Es decir, si N termina
en 00, 20, 40, 60 u 80.
Teorema 7. (Divisibilidad por 25)
Un número natural N es divisible por 25, si y solo
si, es divisible por 25 el número , donde es la cifra
de las decenas de N y , la cifra de sus unidades. Es decir, si N termina
en 00, 25, 50 ó 75.
Teorema 8. (Divisibilidad por 50)
Un número natural N es divisible por 50, si y solo
si, es divisible por 50 el número , donde es la cifra
de las decenas de N y , la cifra de sus unidades. Es decir, si N termina
en 00 ó 50.
Teorema 9. (Divisibilidad por 100)
Un número natural N es divisible por 100, si y
solo si, es divisible por 100 el número , donde es la cifra
de las decenas de N y , la cifra de sus unidades. Es decir, si N termina
en 00.
Criterios
de divisibilidad del 8 y del 1000.
Extrayendo factor común 1000 en la representación,
en el sistema decimal, del número natural N, se pueden obtener criterios para:
8, 40, 125, 200, 250, 500 y 1000. De estos solo se destacan dos que son los más
usados.
Teorema 10. (Divisibilidad por 8)
Un número natural N es divisible por 8, si y solo
si, es divisible por 8 el número 
, donde 
es la cifra
de las centenas de N, la cifra de
las decenas y la cifra de
sus unidades.
Teorema 11. (Divisibilidad por 1000)
Un número natural N es divisible por 1000, si y
solo si, es divisible por 1000 el número , donde es la cifra
de las centenas de N, la cifra de
las decenas y la cifra de
sus unidades. Es decir, si termina en 000.
Criterios
de divisibilidad de 3 y 9.
Estos criterios se apoyan en la siguiente propiedad.
Teorema 12. Para todo número natural n se cumple:
(i)
(ii)
Utilizando la propiedad anterior, todo número
natural N se puede escribir en la forma:
Como el primer sumando del miembro derecho de la
igualdad anterior es divisible por 3 y por 9, entonces según el teorema 1 se
obtienen los siguientes criterios de divisibilidad:
Teorema 13. (Divisibilidad por 3)
Un número natural N es divisible por 3, si y solo
si, es divisible por 3 la suma de las cifras de N.
Teorema 14. (Divisibilidad por 9)
Un número natural N es divisible por 9, si y solo
si, es divisible por 9 la suma de las cifras de N.
Criterio
de divisibilidad del 7.
Teorema 15. (Divisibilidad por 7)
Un número natural N es divisible por 7, si y solo
si, es divisible por 7 la diferencia entre el número que resulta de N
eliminando la cifra de sus unidades y el duplo de esta cifra.
En símbolos:
Ejemplos.
1.
. Como 
es
divisible por 7, entonces 
es
divisible por 7.
2.
. Si no se está seguro de la divisibilidad de 84
por 7, se puede repetir la aplicación del criterio.
. Como 
es
divisible por 7, entonces 84 es divisible por 7, y por tanto 882 también lo es.
3.
. Como 
no es
divisible por 7, entonces 64 tampoco lo es.
Criterios
de divisibilidad del 13 y del 17.
Teorema 16. (Divisibilidad por 13)
Un número natural N es divisible por 13, si y solo
si, es divisible por 13 la diferencia entre el número que resulta de N
eliminando la cifra de sus unidades y nueve veces esta cifra.
En símbolos:
Teorema 17. (Divisibilidad por 17)
Un número natural N es divisible por 17, si y solo
si, es divisible por 17 la diferencia entre el número que resulta de N
eliminando la cifra de sus unidades y cinco veces esta cifra.
En símbolos:
Criterio
de divisibilidad del 11.
Teorema 18. (Divisibilidad por 11)
Un número natural N es divisible por 11, si y solo
si, es divisible por 11 la diferencia entre la suma de las cifras de N que
ocupan lugares pares y la suma de las cifras de N que ocupan lugares impares.
Ejemplos.
1.
, y cero es divisible por 11.
2.
1 111 111 no
es divisible por 11 porque:
, y uno no es divisible por 11.
Criterios
de divisibilidad de números compuestos.
El siguiente teorema brinda otra propiedad de la relación
de divisibilidad.
Teorema 19. Si 
y 
, entonces 
.
Teorema 20. (Divisibilidad por 6)
Un número natural N es divisible por 6, si y solo
si, N es divisible por 2 y por 3.
III.
Aplicación práctica
de estos criterios.
Determinar todos los números de la forma 
que son divisibles por 99, donde las variables
x e y representan dígitos cualesquiera.
Solución:
. Entonces los dígitos buscados tienen que ser,
tales que, sea divisibles
por 9 y por 11.
Los
valores de x, y buscados son las soluciones de los sistemas de ecuaciones
siguientes:
De
estos sistemas, solo el segundo aporta solución que cumple con las exigencias
del ejercicio. Esta solución es 
.
Respuesta: El único número es 31 977.
Conclusiones
1. En este trabajo se ha abordado un contenido
matemático de escaso tratamiento en la literatura básica en la escuela y se
considera que su conocimiento constituye una necesidad tanto para docentes como
estudiantes por la aplicación que tiene el mismo en la enseñanza de la
Matemática.
2. Es importante destacar la importancia que reviste
para los docentes conocer cómo pueden obtenerlos y cómo demostrar estos
criterios, lo que facilitaría el proceso de aprehensión por parte de los
estudiantes, además este trabajo va a facilitar la preparación de los docentes
para la impartición del contenido tratado dado a las limitaciones del mismo en
la literatura básica.
Referencias
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